點與線的對偶關係

相對於單位圓的對偶關係

[相對於單位圓的對偶關係」 圖案 平面上有一個點 A = (xA, yA) (圖中藍色點), 我們定義它的 對偶 dual A' 為這條直線: xA x + yA y= 1 (圖中藍色直線)。 反過來, 如果已知一直線 L 的方程式為 a x + b y = 1, 則定義它的對偶為 (a,b) 這個點。

如果你的電腦裝有 drgeo, 則可以用 drgeo 打開 circ_dual.fgeo 這個檔, 逐一驗證下面所列的定理; 如果沒有, 就憑想像力與數學感來體會吧! 前幾個定理只談到一個點, 觀察時可以只拉動藍點, 並注意藍點與藍線的相對位置就好, 不要理會其他點/線。

  1. 圓內側一點 A, 其對偶直線 A' 完全落在圓外側。
  2. 圓上一點 A, 其對偶直線 A' 與圓相切, 且切點恰好就是 A。
  3. 圓外側一點 A, 其對偶直線 A' 通過圓內側。 由 A 向圓作切線, 兩切點連線恰為 A'。
  4. 離圓心越遠的點 A, 其對偶 A' 離圓心越近; 反之亦然。 當 A 趨近於圓心時, A' 趨近於無窮遠。
  5. 兩點 A 與 B 連線的對偶 C, 恰為其對偶 A' 與 B' 兩線的交點

相對於拋物線的對偶關係

[相對於拋物線的對偶關係」 圖案 同樣的觀念, 現在改用拋物線來取代圓, 效果類似。 平面上有一個點 A = (xA, yA) (圖中藍色點), 我們定義它的 對偶 dual A' 為這條直線: y = xA x - yA (圖中藍色直線)。 反過來, 如果已知一直線 L 的方程式為 y = a x + b, 則定義它的對偶為 (a,-b) 這個點。

  1. 拋物線上側一點 A, 其對偶直線 A' 完全落在拋物線下側。
  2. 拋物線上一點 A, 其對偶直線 A' 與拋物線相切, 且切點恰好就是 A。
  3. 拋物線下側一點 A, 其對偶直線 A' 通過拋物線上側。 由 A 向拋物線作切線, 兩切點連線恰為 A'。
  4. 越低下的點 A, 其對偶 A' 越高; 反之亦然。 當 A 趨近於拋物線心時, A' 趨近於無窮遠。
  5. 兩點 A 與 B 連線的對偶 C, 恰為其對偶 A' 與 B' 兩線的交點

Convex Hull 與 Half-plane Intersection 問題互為對偶

[Convex Hull 與 Half-plane Intersection 問題互為對偶] 圖案 這個圖由 ch_hpi 這個程式產生。 圖中灰色拋物線為 y = x^2/2, 灰點為原點; 其餘點 (稱它為 S 好了) 為我們計算 convex hull 的對象。 我們特地將有顏色的點放到 S 的上下左右四側。 令 S' 表示 S 裡面所有點的對偶線所成集合, 也就是說 S' 是圖中所有黑色直線加上四條彩色直線。 注意 S 的 upper hull 如何 (有順序地) 對應到 S' 的 lower envelope; 而 S 的 lower hull 如何對應到 S' 的 upper envelope。