矩陣代數

矩陣的代數運算

本節中, 大寫變數為矩陣; 小寫變數為純量; 小寫粗體為行向量。

簡單的矩陣運算性質

公式 中文名稱 英文名稱
A + B = B + A 加法的交換律 commutativity of addition
A + (B+C) = (A+B) + C 加法的結合律 associativity of addition
(cd) A = c (dA)
c (A+B) = cA + cB 乘法對加法的分配律 distributivity
(c+d) A = cA + dA 乘法對加法的分配律 distributivity
A + O = A
若 cA = O 則 c=0 或 A=O
A (BC) = (AB) C 乘法的結合律 associativity of multiplication
A (B + C) = AB + AC 乘法對加法的分配律 distributivity
(A+B) C = AC + BC 乘法對加法的分配律 distributivity
c (AB) = (cA) B = A (cB)
AI = A; IA = A (注意: 兩個 I 的大小不一定一樣)
(A')' = A
(A+B)' = A' + B'
(cA)' = c (A')
(AB)' = B'A'
inv(inv(A)) = A

為什麼要給公式取名字? 數學家的工作就是從重複出現的例子當中尋找規律, 把 (4+2)*3 = 4*3+2*3 等等許多例子寫成適用範圍更大的四則運算公式, 以期一勞永逸。 在這裡, 想想看簡單的四則運算是否也有類似的公式? 而 boolean algebra 當中的 or (類似 + ) 與 and (類似 * ) 是否也有類似的公式? 如果我們替這些公式取名字, 就可以從這些例子當中 (請提昇思考層次: 現在每門 algebra 都是一個例子而已!) 把好幾種不相關的代數之間的共通規律找出來, 變成一門適用範圍更大的學問, 這門學問就叫做 abstract algebra (抽象代數) 或稱 modern algebra (現代代數)。

反矩陣的特性

  1. inverse is unique
  2. inv(A^k) = (inv(A))^k
  3. inv(cA) = (1/c) inv(A)
  4. inv(A') = inv(A)'
  5. 兩 invertible 矩陣的乘積為 invertible, 且 inv(AB) = inv(B) * inv(A)
  6. 若 C 為 invertible, 則 AC=BC 可推得 A=B; CA=CB 可推得 A=B。
  7. 若 A 為 invertible, 則 A x = b 的解可由 x = inv(A) b 求得。 (實際應用上只有在: 許多方程組的 A 都相同時, 才符合經濟效益。)

Q: 為什麼 (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 不一定成立? Q: 為什麼 (A+B)(A+B) = A^2 + 2AB + B^2 不一定成立?

Q: 有許多觀念與公式其實是純量的延伸, 例如 0 矩陣是 "0" 這個觀念的延伸; 單位方陣是 "1" 這個觀念的延伸 ... 請重新看以上性質定理, 看看還有那些公式也是如此。 (例如 "兩 invertible 矩陣的乘積為 invertible"。) 提示: 把一個純量看成是 1x1 的矩陣。