新手上路

簡介

drgeo 是一套尺規作圖幾何教學玩具。 數學課本說: 光靠圓規與沒有刻度的直尺就可以畫出很多有趣的圖形出來。 Dr Geo 不說大道理。 它叫你親手試試看就知道了。

受不了的好玩! 太感動了! 如果我小時候有這套玩具可以玩, 一定更早把幾何學學好。 好久沒有像年輕時打電動玩具那樣對一套軟體愛不釋手了! 玩到差點來不及去上課 ^_^||| 一邊用滑鼠抓著小人亂動, 一邊看到透鏡成像之後的那個小人跟著跳舞, 我快被自己笑翻了!

呃, 好吧, 也許您不覺得有什麼好笑; 不過對教學真的有幫助。 拜託廣為宣傳給中小學數學老師與物理老師!

這篇講義的對象是熟悉國高中數學的讀者, 特別是數學/物理老師。 您不必熟悉電腦, 只要可以找到人幫你 下載/燒錄 freeduc 光碟, 並且進入 BIOS 將電腦設定成光碟開機, 就可以直接使用 (版本稍舊的 drgeo)。 如果您已使用安裝至硬碟的任何版本 linux, 就更方便了, 可以直接用您平常熟悉的安裝套件指令 (例如 urpmi 或 apt-get) 安裝最新版 drgeo。

三角形的外接圓

首先開一個終端機視窗 (rxvt 或 xterm 之類的), 下 drgeo & 叫出 drgeo。

  1. 選取 「檔案」 (File) ==> 「新增」 (New) ==> 「圖形」 (Figure) 開始亂畫。
  2. 在畫布空白處按滑鼠右鍵叫出選單, 選取 「點」 (Point) ==> 「自由點」 (Free Point)。 注意最下面有一列提示字串, 說現在可以在畫面上任何地方, 或在任何曲線上點一下。
  3. 於是我們在畫面上隨意點三下, 出現三個紅色的Ⅹ。
  4. 為每個點取個名字吧。 滑鼠移至空白處, 按右鍵, 再叫出選單。 這次選取 「其他」 (Other) ==> 「外觀」 (Look), 再次注意最下面提示字串, 現在它要我們選取一個物件, 以便更改它的外觀。
  5. 將滑鼠移到任一個點附近時, drgeo 會跳出黃色的小訊息, 提示現在若點下去, 就會選到這個物件。 隨便選一個點, 點下去, 跳出一個視窗。 你可以改變它的顏色, 形狀, 與大小等等外觀; 不過我們現在最重要的是填寫它的名字, 叫做 A 好了。
  6. 同樣地, 把其他兩點分別叫做 B 與 C。

三個點, A, B, C

好了, 讀者已經知道如何叫出選單 -- 不僅可以在空白處按右鍵, 其實畫面上方的一橫列圖象就相當於選單的第一層, 點進去之後就相當於選單的第二層, 一樣可以叫出相同的功能。 最重要的是要養成習慣, 隨時 注意畫面最下面一列提示訊息。 它一直在變, 根據目前所選不同的功能, 會提示我們接下來要點選什麼不同的東西。 例如等一下我們要求中點時, 它會提示 "選取兩點, 或選取一條線段" 之類的。 接下來我們要畫出一個三角形, 及它的外接圓, 並驗證它三邊的中垂線交於同一點。 只要記得隨時注意下方的訊息, 就不會覺得以下的描述太簡略了。

  1. 選取 「曲線」 (Curve) ==> 「線段」 (Segment), 連出線段 AB。 同樣地連出三角形的其他兩邊。
  2. 選取 「點」 (Point) ==> 「中點」 (Mid-point), 點出線段 AB 的中點, 叫它 Z 好了。 注意! 並不需要小心翼翼地把滑鼠移到線段 AB 的中點。 請故意在接近線段 AB 1/4 或 3/5 處, 點下滑鼠, 總之就是不要點在端點或中點處。 我們的任務是把 規則 告訴 drgeo; drgeo 的任務才是 精確地求出座標
  3. 同樣地, 畫出 BC 的中點, 叫它 X; 畫出 AC 的中點, 叫它 Y。
  4. 選取 「變換」 (Transformation) ==> 「垂直線」 (Orthogonal Line)。 比較簡單的做法是先選線段 BC, 再選點 X, 如此會過 X 做一條 BC 的垂直線。 過程中, 萬一黃色小訊息出現 "???", 最好先避開。 這表示此處有兩三個物件都可以選, 你必須按住滑鼠不放, 想清楚, 再從它跳出的選單當中挑一個你要的物件。
  5. 過程中如果不小心畫錯, 可以按畫面上方黃色左箭頭倒退一步, 或綠色右箭頭取消倒退。
  6. 同樣地, 過 Y 做一條 AC 的垂直線; 但先不要過 Z 做 AB 的垂直線。
  7. 選取 「點」 (Point) ==> 「交點」 (Intersection), 再選取剛才的兩條中垂線 (不要點在交點上面! 我們的任務是把規則告訴 drgeo), 如此求出來的交點叫做 O, 到所有頂點等距, 正是外接圓的圓心。
  8. 選取 「曲線」 (Curve) ==> 「圓形」 (Circle), 選取 O 當圓心, A (當然 B 或 C 也可以) 當圓上一點, 畫出外接圓。 記得如果你要的物件上面出現 "???", 滑鼠就必須先按住不放才能選到正確的物件。
  9. 選取 「曲線」 (Curve) ==> 「線段」 (Segment), 連接 OZ。
  10. 選取 「數值」 (Numeric) ==> 「角度」 (Angle), 選取 O, Z, B (依此順序), 如此它會度量角 OZB 的大小。 九十度沒錯吧?
  11. 大功告成! 選取 「移動物件」 (Move an Object), 開始拉著三角形的三個頂點或三個邊隨便亂轉, 看看 OZB 是否一直維持九十度。
  12. 如果你的 Linux 是安裝版, 硬碟可寫入, 或者如果你的 Linux 雖是光碟版, 但有 USB 隨身碟, 則可從左上角的 「檔案」 (File) 選單選擇 「儲存」 (Save) 或 「另存新檔」 (Save As), 變成 這樣的檔案。

三角形的外接圓

盡可能自由的長方形

現在請依照以下簡要提示, 自行練習做一個可以任意旋轉/移動/改變大小的長方形。

  1. 從左上角的 「檔案」 (File) 選單選擇 「新增」 (New) ==> 「圖形」 (Figure), 產生一張空白的畫布。 注意看視窗從下面數上來的第二列, 是否有兩個像書籤一樣的東東 (tab)? 可以用它切換回原先的圖, 或切回此畫布。
  2. 畫兩個自由點 O 與 A, 連成線段。
  3. 過 O 作 OA 的垂直線, 叫做 L。
  4. 在 L 上任取一點, 叫做 B。 注意: 還是用 「點」 (Point) ==> 「自由點」 (Free Point) 的選單, 只不過此時不要在畫布上隨意畫點, 而要在黃色訊息顯示 "L" (如果剛才你替垂直線取名叫 L 的話) 時點下去。 這個 B 是一維的自由點 (degree of freedom = 1), 不同於一般如 O 與 A 二維的自由點。 (degree of freedom = 2)。 在後面的章節中會看到: 製作軌跡 (locus) 時, 就必須用 DOF=1 的自由點。
  5. 過 B 作 OA 的平行線, 過 A 作 OB 的平行線, 求出兩線交點, 叫做 C。
  6. 選取 「其他」 (Other) ==> 「外觀」 (Look), 改變可見狀態, 把三條直線都隱藏起來 (masked)。
  7. 補上三條線段, 完成長方形。

這個圖也可以順便用來解釋 「自由度」 (degree of freedom) 的概念 -- 要在平面上畫一個長方形, 總共有五個自由度: 位置 (2) 長寬 (2) 角度 (1); 我們做出來的圖形則表現在 O 的位置 (2), A 的位置 (2) 及 B 的位置 (1) 上面。

初學者常忽略的重點再提示

  1. 要注意視窗最下方那一列訊息。
  2. 移動滑鼠時, 如果遇到黃色訊息變成 "???", 必須按住滑鼠不放。
  3. 想求交點? 想求中點? 不要自己精確地將滑鼠移到該點; 只需要告訴 drgeo 想求的是 誰與誰的交點, 或是 誰 的中點。 (滑鼠只需要點在 線或線段 上面就好)
  4. 一個動作未完成時 (例如要求 "過 A 作 l 的平行線", 已點了 A, 還沒有點 l 時), 已被點選的物件會閃爍。
  5. 注意: 如果你畫了好幾張圖 (用了好幾次 File ==> New ==> Figure), 要離開 drgeo 前又想同時將其中好幾張圖案一併存檔, 則應該用 檔案 (File) ==> 同時儲存數份文件 (save Multiple)。 如果選 檔案 (File) ==> 儲存 (Save) 則只會儲存目前看到的這張圖。

練習題

請畫以下圖形。 你所畫的圖, 必須可以讓使用者任意做 最大幅度 的自由移動/旋轉/縮放/..., 卻仍然要保持題目要求的特性, 就像上述的長方形一樣。 也請順便數一下: 每個圖形的自由度是多少?

  1. 正方形
  2. 平行四邊形
  3. 箏形
  4. 等腰三角形
  5. 正三角形
  6. 直角三角形
  7. 一個任意三角形及它的內切圓
  8. 一個任意三角形及它的三個外切圓
  9. 一個等腰梯形及它的外接圓
  10. 一個菱形及它的內切圓
  11. 過圓外一點, 對圓做切線 (提示: 以該點與圓心的連線為直徑, 做一圓...)
  12. 給定兩圓, 做它們的公切線 (提示: 任取一對平行的半徑...)